经由可靠的论证（三段论、推理规则）由前提（原有的知识）导至结论（新的知识）的逻辑演绎方法，是由古希腊人发展出来的，并已成为了现代数学的核心原则
除了重言式之外，没有任何事物可被推导，若没有任何事物被假定的话
公理即是导出特定一套演绎知识的基本假设 公理不证自明，而所有其他的断言（若谈论的是数学，则为定理）则都必须借助这些基本假设才能被证明 然而，对数学知识的解释从古至今已不太一样，且最终“公理”这一词对今日的数学家眼中和在亚里斯多德和欧几里得眼中的意思也有了些许的不同 古希腊人认为几何学也是数种科学的其中之一，且视几何学的定理和科学事实有同等地位 他们发展并使用逻辑演绎方法来作为避免错误的方法，并以此来建构及传递知识 亚里斯多德的后分析篇是对此传统观点的一决定性的阐述 百科x混知：图解几何原本百科x混知：图解几何原本“公理”，以传统的术语来说，是指在许多科学分支中所共有的一个不证自明的假设 在各种科学领域的基础中，或许会有某些未经证明而被接受的附加假定，此类假定称为“公设” 公理是许多科学分支所共有的，而各个科学分支中的公设则是不同的 公设的有效性必须建立在现实世界的经验上 确实，亚里斯多德曾言，若读者怀疑公设的真实性，这门科学之内容便无法成功传递 传统的做法在《几何原本》中很好地描绘了出来，其中给定一些公设（从人们的经验中总结出的几何常识事实），以及一些“公理”（极基本、不证自明的断言） 公设1 能从任一点画一条直线到另外任一点上去 2 能在一条直线上造出一条连续的有限长线段 3 能以圆心和半径来描述一个圆 4 每个直角都会相互等值 5 （平行公设）若一条直线与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两个直角，那么这两条直线在各自不断地延伸后，会在内角和小于两直角的一侧相交 公理1 等同于相同事物的事物会相互等同2 若等同物加上等同物，则整体会相等 3 若等同物减去等同物，则其差会相等 4 相互重合的事物会相互等同 5 整体大于部分 近150年来，数学家所学到的是，将意思从数学陈述（公理、公设、命题、定理）和定义中抽离出去是很有用的 此一抽象化（或甚至可说是公式化）使得数学知识变得更一般化，容许多重不同的意思，且因此可以用在多重的方面上 结构主义的数学走得更远，并发展出没有“任一”特定应用的理论和公理（如体论、群论、拓扑学、向量空间） “公理”和“公设”之间的差异消失了 欧几里得公设因为可以导出大量的几何事实而被创造出来 这些复杂事实的真实性依赖于对基本假定的承认 然而，若舍弃第五公设，则可以得到有更多内容的理论，如双曲几何 我们只需要准备以更弹性的方式来使用“线”和“平行”等术语 双曲几何的发展教导了数学家们公设应该被视为单纯的形式陈述，而不是基于经验的事实 当数学家使用体的公理时，其含义甚至变得更加地抽象了 体论的命题没有关注于任一特定的应用上；数学家于完全的抽象化上工作著 体有许多的例子；而体论可以给出对所有这些例子适用的正确知识 说体论的公理是“被视为不证自明的命题”是不正确的 实际上，体的公理是一套局限 若任一给定的加法与乘法系统符合此些局限，则我们对此系统立即可以得到许多额外的资讯 现代数学家也对数学基础作了相当程度的形式化，从而使得数学理论可以被视为数学物件，且逻辑本身亦能被视为是数学的一个分支 戈特洛布·弗雷格、伯特兰·罗素、庞加莱、大卫·希尔伯特和库尔特·哥德尔是此发展中的几位关键角色 在现今的理解里，一套公理是任何一群形式陈述的断言，而透过应用某些定义良好的规则，可由这些公理推导出其他形式陈述的断言 在此观点下，逻辑只是变成了另一个形式系统 一套公理应该是相容的，即应该不可能由此公理中导出矛盾来 一套公理亦应该是非冗余的，即一个可以由其他公理导出的断言不应被视为是一个公理 近代的逻辑学家最初希望数学的不同分支，最好是所有的数学，都可以被一套相容的基本公理中推导出来 数学形式主义的一个早期成功的例子为希尔伯特对欧几里得几何的公式化，以及相关地，对此些公理相容性的确定 在更广的方面来看，还有人企图将所有数学放在康托尔的集合论之下 不过，罗素悖论的出现和朴素集合论中相似的矛盾，指出任何此类的形式系统最终都有可能是不相容的 此计划遭受到的决定性挫败是在1931年，哥德尔证明出只要一个相容的形式系统能够蕴涵皮亚诺公理，就可以在系统内建构出一个其真实性和此套公理独立的陈述 作为一个推论，哥德尔证明出一个如皮亚诺算术的理论，其相容性在理论本身之内会是一个不可证的断言 相信皮亚诺算术的相容性是合理的，因为它被自然数的系统所满足－一个无限但在直觉上易被接受的形式系统 然而，依然没有已知的方法判定集合论中策梅罗-弗兰克尔公理的相容性 选择公理－此理论的关键假定，也依然是一个极具争议的假设 更甚之，利用力迫法的技巧，可以证明连续统假设独立于策梅罗-弗兰克尔公理之外 因此，即使是这种极一般的公理也还不能被视为是数学的决定性基础 (1) [axiom]∶依据人类理性和愿望发展起来而共同遵从的道理 世界有强权,没有公理啊!(2) [self-evident truth;generally acknowledged truth]∶经过人类长期反复实践的考验,不需要再加证明的命题(如数字中的) 1 社会上公认的正确道理 《三国志·吴志·张温传》：“竞言 艳 及选曹郎 徐彪 ，专用私情，爱憎不由公理 ” 清 姚鼐 《礼笺序》：“经之说有不得悉穷 古人不能无待於今，今人亦不能无待於后世 此万世公理也 ” 叶圣陶 《倪焕之》十九：“世界有强权，没有公理啊 ”2 在一个系统中已为实践所反复证明而被认为无须再证明的真理 如“等量加等量其和相等”，就是公理 公理系统（axiomatic system）就是把一个科学理论公理化，用公理方法研究它，每一科学理论都是由一系列的概念和命题组成的体系 公理化的实现就是：①从其诸多概念中挑选出一组初始概念，该理论中的其余概念，都由初始概念通过定义引入，称为导出概念；②从其一系列命题中挑选出一组公理，而其余的命题，都应用逻辑规则从公理推演出来，称为定理 应用逻辑规则从公理推演定理的过程称为一个证明，每一定理都是经由证明而予以肯定的 由初始概念、导出概念、公理以及定理构成的演绎体系，称为公理系统 初始概念和公理是公理系统的出发点 公理系统相应地区分为古典公理系统、现代公理系统或称形式公理系统 最有代表性的古典公理系统是古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中建立的 第一个现代公理系统是D 希尔伯特于1899年提出的 他在《几何基础》一书中，不仅建立了欧几里得几何的形式公理系统，而且也解决了公理方法的一些逻辑理论问题 例如欧几里德《几何原本》中就规定了五条公理和五条公设（以现代观点来看，公设也是公理），平面几何中的一切定理都可由这些公理和公设推导而得 公理系统要满足某些一般要求，包括系统的一致性（无矛盾性）、完全性，以及公理的独立性 其中一致性是最重要的，其他几个性质则不是每个公理系统都能满足的，或可以不必一定要求的 由于公理系统可以建造一个完整的、无矛盾、满足一致性的理论体系，所以几乎所有的数学领域甚至一些数学以外的科学领域也采用了公理化体系来构造他们的理论系统 如现代得到多数人认可的大爆炸理论，就是基于这种认识 在数学中，所有的定理都必须给予严格的证明，但公理却是无需证明的 因为数学公理是在基本事实或自由构造的基础上为了研究方便人为设定的 有些是一般性的东西，人类仍无法用现有理论推导 一个公理体系中的名词是预先已经定义的概念，这样的公理系统就是实质公理系统 如欧几里德几何公理系统 因为要先定义概念，所以就要有一些初始的概念作为定义其他概念的出发点，如欧氏几何中使用的“部分”、“长度”、“宽度”、“界限”以及“同样的位置”等 （a）传统形式逻辑三段论由一类事物的不证自明的全称判断作为前提，可以推断这类事物中部分判断为真，那么这个全称判断就是公理 如“有生必有死”，就属于这种判断 （b）在欧几里得几何系统中，下面所述的是几何系统中的部分公理：① 等于同量的量彼此相等 ②等量加等量，其和相等 ③ 等量减等量，其差相等 ④ 彼此能重合的物体是全等的 以下是常用的等量公理的代数表达：①如果a=b，那么a+c=b+c ②如果a=b，那么a－c=b－c ③如果a=b，且c≠0，那么ac=bc ④如果a=b，且c≠0，那么a/c=b/c ⑤如果a=b，b=c，那么a=c 公理集合论（axiomatic set theory）是数理逻辑的主要分支之一 是用公理化方法重建（朴素）集合论的研究以及集合论的元数学和集合论的新的公理的研究 1908年，E 策梅洛首开先河，提出了第一个集合论公理系统，旨在克服集合论中出现的悖论 20世纪20年代，A 弗伦克尔和A 斯科朗对此予以改进和补充，从而得到常用的策梅洛—弗伦克尔公理系统，简记为ZF ZF是一个形式系统，建立在有等词和关系符号“∈”（与朴素集合论中的属于关系相对应）的一阶谓词演算之上 它的非逻辑公理有：外延公理、空集公理、无序对公理、并集公理、幂集公理、无穷公理、分离（子集）公理模式、替换公理模式、正则（基础）公理 如果另加选择公理（AC），则所得到的公理系统简记为ZFC 现已证明：ZF对于发展集合论是足够的，它能避免已知的集论悖论，并在数学基础的研究中提供了一种较为方便的语言工具 但是由哥德尔不完备性定理可知，ZF是不完备的 由哥德尔第二不完备性定理可知，如此丰富的集合论公理系统，如果是协调的，那么在其内部也是无法证明的，而须借助于更强的公理才能证明 由于几乎全部数学都可归约为集合论，所以ZF系统的一致性一直是集合论中至关重要的问题 但根据哥德尔的不完全性定理，却无法在ZF系统内证明自身的一致性 此外，一些重要的命题，如连续统假设也是在ZF中不可判定的 寻找这些不可判定问题并证明其不可判定性和扩充ZF，以期在扩充后的系统中判定这些命题，就成了公理集合论研究的两个出发点 1963年，美国学者P 科恩创立力迫法，从而证明了集合论中的一大批独立性问题 概括地说，几何学的公理化方法是从少数初始概念和公理出发，遵遁逻辑原则建立几何学演绎体系的方法 用公理化方法建立的数学学科体系一般是由以下四个部分组成：①初始概念的列举 ②定义的叙述 ③公理的列举 ④定理叙述和证明 这四个组成部分不是独立地叙述和展开，而是相互交织、相互渗透、相互依赖地按照逻辑原则演绎 一般说来，用公理化方法建立的几何学演绎体系总是由抽象内容和逻辑结构构成的统一体 决定几何体系的基础是初始概念和公理，不同的公理基础决定不同的几何体系，例如欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何、拓扑学等 几何体系的逻辑结构，主要取决于公理提出的先后次序，同一种几何体系由于公理系统的编排次序不同，可以产生不同的逻辑结构．例如，中学几何中的“外角定理”和三角形全等（合同）的“角角边定理”是在平行公理之后提出的，因此可根据平行公理的推论“三角形内角和等于二直角”很容易给予证明 但在希尔伯特所建立的欧氏几何的体系中，由于这两个定理是在平行公理之前提出的，就不允许使用“三角形内角和”定理 即同一欧氏几何可有多种逻辑结构，一个几何命题的证法不是通用的，它在一种逻辑结构中适用，而在另一种逻辑结构中可能不适用 早期的数学家视公理化几何为物理空间的模型，且明显地只能有此一模型 另一种数学系统可能存在的想法，对19世纪的数学家而言是极度困扰的，并费尽苦心地想要将这些系统从传统算术中推导出来 伽罗瓦证明这些努力大多都是白费的 最后，这些在代数系统中相互平行的抽象系统看起来似乎有其重要性，而现代代数也由此诞生了 以现在的观点来看，任意的公式集合都可以作为公理，只要这些公式并未被发现为不一致的便可
